Tabla De Puntos Para Formar Numeros Poligonales?

16.06.2023 0 Comments

Tabla De Puntos Para Formar Numeros Poligonales

¿Cómo formar números poligonales?

Números poligonales y sus propiedades en Haskell Un número poligonal es aquel que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de polígono regular, empezando por el 1. Los primeros números poligonales son los números triangulares, estos se forman a partir de triángulos. Los siguientes son los números cuadrangulares Los siguientes son los números pentagonales

Los números triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, 21, Sus diferencias son 2, 3, 4, 5, 6, Por tanto, se obtienen como sigueLos números cuadrangulares son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, Sus diferencias son 3, 5, 7, 9, Por tanto, se obtienen como sigueLos números pentagonales son 1, 5, 12, 22, 35, Sus diferencias son 4, 7, 10, 13, Por tanto, se obtienen como sigueSiguiendo el mismo patrón, las diferencias entre los números hexagonales son 5, 9, 13, 17, Por tanto, los primeros números hexagonales sonContinuando con este patrón se obtienen los número poligonales con k lados. Los siguientes sonEn la siguiente relación de ejercicios (elaborada para ) se muestran distintas definiciones de los números poligonales y algunas de sus propiedades, como el teorema de Fermat, en Haskell.

– – – § Librerías auxiliares – – – import Test.QuickCheck – – – Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función – poligonalR :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (poligonalR k n) es el n-ésimo número poligonal con k – lados. Por ejemplo, – ] == – ] == – ] == – ] == – – poligonalR :: Integer -> Integer -> Integer poligonalR _ 1 = 1 poligonalR k n = ( 1 + ( k – 2 ) * ( n – 1 ) ) + poligonalR k ( n – 1 ) – – – Ejercicio 2. Definir, por recursión, la función – poligonalC :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (poligonalC k n) es el n-ésimo número poligonal con k – lados. Por ejemplo, – ] == – ] == – ] == – ] == – – poligonalC :: Integer -> Integer -> Integer poligonalC k n = sum ] – – – Ejercicio 3. A partir de la sucesión de los 5 primeros números – poligonales, para k entre 3 y 9, conjeturar una fórmula para calcular – el n-ésimo número poligonal con k lados. – – – Usando Wolfram Alpha se obtienen las siguientes fórmulas – k=3 a(n) = n*(n+1)/2 http://wolfr.am/1b3qmaE – k=4 a(n) = n^2 http://wolfr.am/1fvqPlX – k=5 a(n) = n*(3*n-1)/2 http://wolfr.am/1llp3uF – k=6 a(n) = 2*n^2-n http://wolfr.am/1k5nYTD – k=7 a(n) = (5*n^2-3*n)/2 http://wolfr.am/1aGSjrl – k=8 a(n) = 3*n^2-2*n http://wolfr.am/1llppRM – k=9 a(n) = (7*n^2-5*n)/2 http://wolfr.am/1k5oT6w – En general, – a(n) = ((k-2)*n^2-(k-4)*n)/2 – – – Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck la fórmula para calcular el – n-ésimo número poligonal con k lados conjeturada en el ejercicio – anterior. – – – La conjetura es prop_poligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonalR k n == ( ( k – 2 ) * n ^ 2 – ( k – 4 ) * n ) ` div ` 2 – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_poligonal – +++ OK, passed 100 tests. – – – Ejercicio 25. Definir, con la fórmula de ejercicio anterior, la – función – poligonal :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (poligonal k n) es el n-ésimo número poligonal con k – lados. Por ejemplo, – ] == – ] == – ] == – ] == – – poligonal :: Integer -> Integer -> Integer poligonal k n = ( ( k – 2 ) * n ^ 2 – ( k – 4 ) * n ) ` div ` 2 – – – Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que las tres definiciones de – poligonal son equivalentes. – – – La propiedad es prop_equivalencia_poligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_equivalencia_poligonal k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonalR k n == x && poligonalC k n == x where x = poligonal k n – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_equivalencia_poligonal – +++ OK, passed 100 tests. – – – Ejercicio 7. Comparar el tiempo y espacio utilizado en los – siguientes cálculos – poligonalR 3 100000 – poligonalC 3 100000 – poligonal 3 100000 – – – El cálculo es – ghci> :set +s – ghci> poligonalR 3 100000 – 5000050000 – (0.32 secs, 30522312 bytes) – ghci> poligonalC 3 100000 – 5000050000 – (0.30 secs, 28852176 bytes) – ghci> poligonal 3 100000 – 5000050000 – (0.00 secs, 519272 bytes) – ghci> :unset +s – – – § La sucesión de números poligonales – – – – – – Ejercicio 8. Definir, usando triangular, la función – poligonales1 :: Integer -> – tal que (poligonales1 k) es la lista de los números poligonales de k – lados. Por ejemplo, – take 10 (poligonales1 3) == – take 10 (poligonales1 4) == – take 10 (poligonales1 5) == – – poligonales1 :: Integer -> poligonales1 k = ] – – – Ejercicio 9. Definir, usando poligonales1, la función – diferencias1 :: Integer -> – tal que (diferencias1 k) es la lista de las diferencias entre el – n-ésimo número poligonal y su anterior, para n > 1. Por ejemplo, – take 5 (diferencias1 3) == – take 5 (diferencias1 4) == – take 5 (diferencias1 5) == – – diferencias1 :: Integer -> diferencias1 k = zipWith ( – ) ( tail xs ) xs where xs = poligonales1 k – – – Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función – diferencias :: Integer -> – tal que (diferencias k) es la lista de las diferencias entre el – n-ésimo número poligonal y su anterior, para n > 1. Por ejemplo, – take 5 (diferencias 3) == – take 5 (diferencias 4) == – take 5 (diferencias 5) == – – diferencias :: Integer -> diferencias k = – – – Ejercicio 11. Definir, por recursión, la función – poligonales2 :: Integer -> – tal que (poligonales2 k) es la lista de los números poligonales de k – lados. Por ejemplo, – take 10 (poligonales2 3) == – take 10 (poligonales2 4) == – take 10 (poligonales2 5) == – – poligonales2 :: Integer -> poligonales2 k = 1 : zipWith ( + ) ( diferencias k ) ( poligonales2 k ) – – – Ejercicio 12. Definir, usando scanl, la función – poligonales3 :: Integer -> – tal que (poligonales3 k) es la lista de los números poligonales de k – lados. Por ejemplo, – take 10 (poligonales3 3) == – take 10 (poligonales3 4) == – take 10 (poligonales3 5) == – – poligonales3 :: Integer -> poligonales3 k = scanl ( + ) 1 ( diferencias k ) – – – Ejercicio 13. Definir la función – prop_equivalentes_poligonales :: Integer -> Int -> Bool – tal que (prop_equivalentes_poligonales k n) se verifica si las tres – definiciones de poligonales de k lados coinciden para todos los – números entre 1 y n. – – Comprobar si coinciden para los números entre 1 y 1000 y k entre 3 y – 5. – – prop_equivalentes_poligonales :: Integer -> Int -> Bool prop_equivalentes_poligonales k n = take n ( poligonales2 k ) == xs && take n ( poligonales3 k ) == xs where xs = take n ( poligonales1 k ) – La comprobación es – ghci> prop_equivalentes_poligonales 1000 – True – – – § Relación entre números poligonales y triangulares – – – – – – Nota 1. En lo que sigue usaremos la siguiente notación – P(k,n) es el n-ésimo número poligonal de k lados – T(n) es el n-ésimo número triangular. – – – – – Ejercicio 14. Definir la función – triangular :: Integer -> Integer – tal que (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, – ] == – – triangular :: Integer -> Integer triangular = poligonal 3 – – – Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que – P(k,n) = n + (k-2)T(n-1) – – – La propiedad es prop_poligonal_triangular1 :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal_triangular1 k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonal k n == n + ( k – 2 ) * triangular ( n – 1 ) – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_poligonal_triangular1 – +++ OK, passed 100 tests. – – – Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que – P(k+1,n) – P(k,n) = T(n-1) – – – La propiedad es prop_poligonal_triangular2 :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal_triangular2 k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonal ( k + 1 ) n – poligonal k n == triangular ( n – 1 ) – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_poligonal_triangular2 – +++ OK, passed 100 tests. – – – § Combinaciones de números poligonales – – – – – – Ejercicio 17. Definir la función – interseccion :: Ord a => -> -> – tal que (interseccion xs ys) es la intersección de las dos listas, – posiblemente infinitas, ordenadas de menor a mayor xs e ys. Por ejemplo, – take 5 (interseccion ) == – – interseccion :: Ord a => -> -> interseccion _ = interseccion _ = interseccion ( x : xs ) ( y : ys ) | x == y = x : interseccion xs ys | x < y = interseccion ( dropWhile ( < y ) xs ) ( y : ys ) | otherwise = interseccion ( x : xs ) ( dropWhile ( < x ) ys ) - - - Ejercicio 18. Definir la función - poligonalesDobles :: Integer -> Integer -> – tal que (poligonalesDobles s t) es la lista de los números – poligonales de s lados que también son poligonales de t lados. Por – ejemplo, – take 4 (poligonalesDobles 3 4) == – take 4 (poligonalesDobles 3 5) == – take 4 (poligonalesDobles 3 6) == – take 4 (poligonalesDobles 4 5) == – take 4 (poligonalesDobles 4 6) == – – poligonalesDobles :: Integer -> Integer -> poligonalesDobles s t = interseccion ( poligonales3 s ) ( poligonales3 t ) – – – § Teorema de Fermat de números poligonales – – – – – – Ejercicio 19. Definir la función – sumas :: -> Integer -> Integer -> ] – tal que (sumas xs m n) es la lista de las de listas crecientes de, – como máximo, m elementos de la lista ordenada creciente xs cuya suma – es n. Por ejemplo, – ghci> sumas 2 7 -,] – ghci> sumas 3 7 -,] – – sumas :: -> Integer -> Integer -> ] sumas _ _ 0 = ] sumas _ _ = sumas _ 0 _ = sumas ( x : xs ) m n | x > n = | otherwise = ++ sumas xs m n – – – Ejercicio 20. Definir la función – descomposicionesPoligonales :: Integer -> Integer -> Integer -> ] – tal que (descomposicionesPoligonales k m n) es la lista crecientes de, – como máximo m números poligonales de k lados, cuya suma es n. Por – ejemplo, – descomposicionesPoligonales 4 4 20 ==,] – descomposicionesPoligonales 4 2 20 == ] – – descomposicionesPoligonales :: Integer -> Integer -> Integer -> ] descomposicionesPoligonales k m n = sumas ( takeWhile ( <= n ) ( poligonales3 k ) ) m n - - - Ejercicio 21. Definir - gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (gradoPoligonal k n) es el menor cantidad de números – poligonales de k lados cuya suma es n. Por ejemplo, – gradoPoligonal 3 5 == 3 – gradoPoligonal 3 7 == 2 – gradoPoligonal 4 5 == 2 – gradoPoligonal 4 7 == 4 – – gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Integer gradoPoligonal k n = minimum, not ( null ( descomposicionesPoligonales k m n ) ) ] – – – Ejercicio 22. Calcular el número mínimo de sumandos para expresar – cualquiera de los 20 primeros números naturales usando números – poligonales de 3, 4 ó 5 lados, respectivamente. – – – El cálculo es – ghci> ] – – ghci> ] – – ghci> ] – – – – Ejercicio 23. A la vista del cálculo del ejercicio anterior, – conjeturar la menor cota superior del número mínimo de sumandos para – expresar cualquiera número natural como suma de números poligonales – de k lados y comprobar la conjetura con QuickCheck. – – – La conjetura es que todos los números naturales se pueden expresar – como suma de k, o menos, números poligonales de k lados (no – necesariamente distintos). – La expresión de la conjetura prop_gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_gradoPoligonal k n = n >= 0 && k > 2 ==> not ( null ( descomposicionesPoligonales k k n ) ) – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_gradoPoligonal – +++ OK, passed 100 tests. – – – Nota 1. En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich – Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la – suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió – en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso – descubrimiento: “¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ”. Posteriormente, Fermat la – generalizó para todos los números poligonales. – –

– – § Librerías auxiliares – – – import Test.QuickCheck – – – Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función – poligonalR :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (poligonalR k n) es el n-ésimo número poligonal con k – lados. Por ejemplo, – ] == – ] == – ] == – ] == – – poligonalR :: Integer -> Integer -> Integer poligonalR _ 1 = 1 poligonalR k n = (1+(k-2)*(n-1)) + poligonalR k (n-1) – – – Ejercicio 2. Definir, por recursión, la función – poligonalC :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (poligonalC k n) es el n-ésimo número poligonal con k – lados. Por ejemplo, – ] == – ] == – ] == – ] == – – poligonalC :: Integer -> Integer -> Integer poligonalC k n = sum ] – – – Ejercicio 3. A partir de la sucesión de los 5 primeros números – poligonales, para k entre 3 y 9, conjeturar una fórmula para calcular – el n-ésimo número poligonal con k lados. – – – Usando Wolfram Alpha se obtienen las siguientes fórmulas – k=3 a(n) = n*(n+1)/2 http://wolfr.am/1b3qmaE – k=4 a(n) = n^2 http://wolfr.am/1fvqPlX – k=5 a(n) = n*(3*n-1)/2 http://wolfr.am/1llp3uF – k=6 a(n) = 2*n^2-n http://wolfr.am/1k5nYTD – k=7 a(n) = (5*n^2-3*n)/2 http://wolfr.am/1aGSjrl – k=8 a(n) = 3*n^2-2*n http://wolfr.am/1llppRM – k=9 a(n) = (7*n^2-5*n)/2 http://wolfr.am/1k5oT6w – En general, – a(n) = ((k-2)*n^2-(k-4)*n)/2 – – – Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck la fórmula para calcular el – n-ésimo número poligonal con k lados conjeturada en el ejercicio – anterior. – – – La conjetura es prop_poligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonalR k n == ((k-2)*n^2-(k-4)*n) `div` 2 – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_poligonal – +++ OK, passed 100 tests. – – – Ejercicio 25. Definir, con la fórmula de ejercicio anterior, la – función – poligonal :: Integer -> Integer -> Integer – tal que (poligonal k n) es el n-ésimo número poligonal con k – lados. Por ejemplo, – ] == – ] == – ] == – ] == – – poligonal :: Integer -> Integer -> Integer poligonal k n = ((k-2)*n^2-(k-4)*n) `div` 2 – – – Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que las tres definiciones de – poligonal son equivalentes. – – – La propiedad es prop_equivalencia_poligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_equivalencia_poligonal k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonalR k n == x && poligonalC k n == x where x = poligonal k n – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_equivalencia_poligonal – +++ OK, passed 100 tests. – – – Ejercicio 7. Comparar el tiempo y espacio utilizado en los – siguientes cálculos – poligonalR 3 100000 – poligonalC 3 100000 – poligonal 3 100000 – – – El cálculo es – ghci> :set +s – ghci> poligonalR 3 100000 – 5000050000 – (0.32 secs, 30522312 bytes) – ghci> poligonalC 3 100000 – 5000050000 – (0.30 secs, 28852176 bytes) – ghci> poligonal 3 100000 – 5000050000 – (0.00 secs, 519272 bytes) – ghci> :unset +s – – – § La sucesión de números poligonales – – – – – – Ejercicio 8. Definir, usando triangular, la función – poligonales1 :: Integer -> – tal que (poligonales1 k) es la lista de los números poligonales de k – lados. Por ejemplo, – take 10 (poligonales1 3) == – take 10 (poligonales1 4) == – take 10 (poligonales1 5) == – – poligonales1 :: Integer -> poligonales1 k = ] – – – Ejercicio 9. Definir, usando poligonales1, la función – diferencias1 :: Integer -> – tal que (diferencias1 k) es la lista de las diferencias entre el – n-ésimo número poligonal y su anterior, para n > 1. Por ejemplo, – take 5 (diferencias1 3) == – take 5 (diferencias1 4) == – take 5 (diferencias1 5) == – – diferencias1 :: Integer -> diferencias1 k = zipWith (-) (tail xs) xs where xs = poligonales1 k – – – Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función – diferencias :: Integer -> – tal que (diferencias k) es la lista de las diferencias entre el – n-ésimo número poligonal y su anterior, para n > 1. Por ejemplo, – take 5 (diferencias 3) == – take 5 (diferencias 4) == – take 5 (diferencias 5) == – – diferencias :: Integer -> diferencias k = – – – Ejercicio 11. Definir, por recursión, la función – poligonales2 :: Integer -> – tal que (poligonales2 k) es la lista de los números poligonales de k – lados. Por ejemplo, – take 10 (poligonales2 3) == – take 10 (poligonales2 4) == – take 10 (poligonales2 5) == – – poligonales2 :: Integer -> poligonales2 k = 1 : zipWith (+) (diferencias k) (poligonales2 k) – – – Ejercicio 12. Definir, usando scanl, la función – poligonales3 :: Integer -> – tal que (poligonales3 k) es la lista de los números poligonales de k – lados. Por ejemplo, – take 10 (poligonales3 3) == – take 10 (poligonales3 4) == – take 10 (poligonales3 5) == – – poligonales3 :: Integer -> poligonales3 k = scanl (+) 1 (diferencias k) – – – Ejercicio 13. Definir la función – prop_equivalentes_poligonales :: Integer -> Int -> Bool – tal que (prop_equivalentes_poligonales k n) se verifica si las tres – definiciones de poligonales de k lados coinciden para todos los – números entre 1 y n. – – Comprobar si coinciden para los números entre 1 y 1000 y k entre 3 y – 5. – – prop_equivalentes_poligonales :: Integer -> Int -> Bool prop_equivalentes_poligonales k n = take n (poligonales2 k) == xs && take n (poligonales3 k) == xs where xs = take n (poligonales1 k) – La comprobación es – ghci> prop_equivalentes_poligonales 1000 – True – – – § Relación entre números poligonales y triangulares – – – – – – Nota 1. En lo que sigue usaremos la siguiente notación – P(k,n) es el n-ésimo número poligonal de k lados – T(n) es el n-ésimo número triangular. – – – – – Ejercicio 14. Definir la función – triangular :: Integer -> Integer – tal que (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, – ] == – – triangular :: Integer -> Integer triangular = poligonal 3 – – – Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que – P(k,n) = n + (k-2)T(n-1) – – – La propiedad es prop_poligonal_triangular1 :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal_triangular1 k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonal k n == n + (k-2) * triangular (n-1) – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_poligonal_triangular1 – +++ OK, passed 100 tests. – – – Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que – P(k+1,n) – P(k,n) = T(n-1) – – – La propiedad es prop_poligonal_triangular2 :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal_triangular2 k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonal (k+1) n – poligonal k n == triangular (n-1) – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_poligonal_triangular2 – +++ OK, passed 100 tests. – – – § Combinaciones de números poligonales – – – – – – Ejercicio 17. Definir la función – interseccion :: Ord a => -> -> – tal que (interseccion xs ys) es la intersección de las dos listas, – posiblemente infinitas, ordenadas de menor a mayor xs e ys. Por ejemplo, – take 5 (interseccion ) == – – interseccion :: Ord a => -> -> interseccion _ = interseccion _ = interseccion (x:xs) (y:ys) | x == y = x : interseccion xs ys | x Integer -> – tal que (poligonalesDobles s t) es la lista de los números – poligonales de s lados que también son poligonales de t lados. Por – ejemplo, – take 4 (poligonalesDobles 3 4) == – take 4 (poligonalesDobles 3 5) == – take 4 (poligonalesDobles 3 6) == – take 4 (poligonalesDobles 4 5) == – take 4 (poligonalesDobles 4 6) == – – poligonalesDobles :: Integer -> Integer -> poligonalesDobles s t = interseccion (poligonales3 s) (poligonales3 t) – – – § Teorema de Fermat de números poligonales – – – – – – Ejercicio 19. Definir la función – sumas :: -> Integer -> Integer -> ] – tal que (sumas xs m n) es la lista de las de listas crecientes de, – como máximo, m elementos de la lista ordenada creciente xs cuya suma – es n. Por ejemplo, – ghci> sumas 2 7 -,] – ghci> sumas 3 7 -,] – – sumas :: -> Integer -> Integer -> ] sumas _ _ 0 = ] sumas _ _ = sumas _ 0 _ = sumas (x:xs) m n | x > n = | otherwise = ++ sumas xs m n – – – Ejercicio 20. Definir la función – descomposicionesPoligonales :: Integer -> Integer -> Integer -> ] – tal que (descomposicionesPoligonales k m n) es la lista crecientes de, – como máximo m números poligonales de k lados, cuya suma es n. Por – ejemplo, – descomposicionesPoligonales 4 4 20 ==,] – descomposicionesPoligonales 4 2 20 == ] – – descomposicionesPoligonales :: Integer -> Integer -> Integer -> ] descomposicionesPoligonales k m n = sumas (takeWhile ( Integer -> Integer – tal que (gradoPoligonal k n) es el menor cantidad de números – poligonales de k lados cuya suma es n. Por ejemplo, – gradoPoligonal 3 5 == 3 – gradoPoligonal 3 7 == 2 – gradoPoligonal 4 5 == 2 – gradoPoligonal 4 7 == 4 – – gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Integer gradoPoligonal k n = minimum, not (null (descomposicionesPoligonales k m n))] – – – Ejercicio 22. Calcular el número mínimo de sumandos para expresar – cualquiera de los 20 primeros números naturales usando números – poligonales de 3, 4 ó 5 lados, respectivamente. – – – El cálculo es – ghci> ] – – ghci> ] – – ghci> ] – – – – Ejercicio 23. A la vista del cálculo del ejercicio anterior, – conjeturar la menor cota superior del número mínimo de sumandos para – expresar cualquiera número natural como suma de números poligonales – de k lados y comprobar la conjetura con QuickCheck. – – – La conjetura es que todos los números naturales se pueden expresar – como suma de k, o menos, números poligonales de k lados (no – necesariamente distintos). – La expresión de la conjetura prop_gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_gradoPoligonal k n = n >= 0 && k > 2 ==> not (null (descomposicionesPoligonales k k n)) – La comprobación es – ghci> quickCheck prop_gradoPoligonal – +++ OK, passed 100 tests. – – – Nota 1. En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich – Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la – suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió – en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso – descubrimiento: “¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ”. Posteriormente, Fermat la – generalizó para todos los números poligonales. – – Destino La anterior relación de ejercicios la ha elaborado para : Números poligonales y sus propiedades en Haskell

¿Qué es el número de polígono?

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Números poligonales
Los cuatro primeros tipos de números poligonales: números triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales

En matemáticas, un número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular, Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

¿Qué es un número hexagonal?

Un número hexagonal es un número que se obtiene al sumar los puntos necesarios para construir la sucesión de hexágonos de la figura. Los primeros números hexagonales son: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190,

¿Quién inventó los números poligonales?

Biografía matemáticos: Pitágoras (11 de 18) Pitágoras: Los números poligonales Los números poligonales Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado.

Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15,, Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25,, Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35,,,

Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagórica como un elemento esencial de su misticismo numérico: « no sólo las cosas son en esencia números sino que los números son concebidos como cosas », de modo que las expresiones « números triangulares » o « números cuadrados » no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados. La asociación del número con la imagen geométrica permitió a los pitagóricos la representación visual de los números combinando las dos esencias con que tiene que ver la Matemática: el número y la forma, confiriendo a los números propiedades y relaciones entre ellos que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos, otorgándoles de este modo un carácter universal e inmutable.

La consideración de los números poligonales y su representación geométrico-visual permitía, por una parte, constatar que ciertos números tienen características diferentes que otros a tenor de las diferentes configuraciones geométricas a que dan lugar, y por otra, el descubrimiento de forma geométrico-empírica, casi corpórea, de importantes propiedades de los números y la obtención de interesantes relaciones entre ellos.

La polifiguración numérica llevaba a extender conceptos de la Aritmética como generalización de la experiencia práctica, desarrollando un atomismo numérico bellamente ilustrado en una geometría de números figurados. Éstos, que son las primeras y las más simples estructuras de la Geometría numérica están en el corazón de las Matemáticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la Teoría de Números.

A partir de las distribuciones geométricas de puntos que hicieron los pitagóricos con los números poligonales, aparecían, como evidencia empírico–visual, numerosas propiedades de los números enteros, al considerar la relación entre órdenes consecutivos de números de un determinado tipo y relaciones entre números poligonales de tipos diferentes.

Así por ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-ésimo número triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, los siguientes esquemas gráficos nos proporcionan importantes propiedades aritméticas de los números enteros: Los números poligonales han sido uno de los tópicos más atractivos de la Historia de la Aritmética tratado por matemáticos de la talla de Nicómaco, Diofanto, Mersenne, Euler,, Lagrange, y Cauchy. Forman parte de las raíces históricas de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos como por ejemplo en el Triángulo de Pascal. La expresión de los diez primeros números poligonales, : Biografía matemáticos: Pitágoras (11 de 18) Pitágoras: Los números poligonales

¿Cómo se obtienen los números pentagonales?

Un número pentagonal es un número que se obtiene al sumar los puntos necesarios para construir la sucesión de pentágonos de la figura. Los primeros números pentagonales son: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145,

¿Cuál es el propósito de los números poligonales?

La base de los números poligonales es ver todas las formas y tamaños de los polígonos como valores numéricos.

¿Cuál es la fórmula del polígono?

Fórmula de polígono La suma de los ángulos interiores de un polígono de ‘n’ lados =180°(n-2) Número de diagonales de un polígono de ‘n lados’ = /2.

¿Qué son las formas poligonales?

En geometría, un polígono se puede definir como una forma cerrada bidimensional plana o plana delimitada por lados rectos. No tiene lados curvos. Los lados de un polígono también se llaman sus bordes. Los puntos donde se unen dos lados son los vértices (o esquinas) de un polígono.

¿Cuál es la fórmula de los números hexagonales?

Números hexagonales: a(n) = n*(2*n-1). Es bien sabido que para n>0, A014105(n) es el primero de 2n+1 enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los primeros n+1 tales enteros es igual a la suma de los cuadrados de los últimos n; por ejemplo, 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2.

¿El 0 es un número hexagonal?

Secuencia de Números Hexagonales 0,1,6,15,28,45,66,91,120,153,190,231,

¿Quién fue el primer matemático en el mundo?

Pitágoras de Samos es descrito a menudo como el primer matemático puro.

¿Quién fue el primer matemático que utilizo los polígonos para aproximar al número pi?

Rocio Rosas Escamilla / Programa Transdisciplinario en Desarrollo Científico y Tecnológico para la Sociedad (DCTS) – Pi (π ) viene del griego periphereia (perímetro) y fue tomado para expresar la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro 1,

  1. Además, es un número irracional que contiene una infinidad de cifras decimales; también es trascendente y no es necesario resolver una ecuación para obtenerlo.
  2. El símbolo que lo caracteriza fue usado por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizado por el suizo Leonhard Euler, en su obra Introducción al cálculo infinitesimal de 1748 2,

Sin embargo, el concepto del número π viene de mucho tiempo atrás y su importancia radica en que se trata de un valor relacionado con una figura trascendental para la humanidad: el círculo. Antes de la invención de la rueda, el hombre debe haber identificado esta forma en el sol, la luna, los ojos, algunas flores 3, y ya que esta noción siempre ha estado presente en la humanidad, no es de extrañar que la curiosidad del hombre lo llevara a identificar las diferentes longitudes que pueden estar contenidas en un círculo.

En el antiguo Egipto se le dio el valor de 4(8/9)2, descrito en el papiro Rhind, que resulta en 256/81, aproximadamente 3.16. En Mesopotamia los babilonios utilizaban el valor 3.125 (3+1/8). En la Biblia existe una referencia a esta razón, la cual daba como resultado 34. El matemático griego Arquímedes lo calculó en el siglo III a.C., a través del método exhaustivo: hizo uso de polígonos regulares inscritos y circunscritos en una circunferencia, calculó el perímetro de dichos polígonos y el área del círculo, quedando acotados los valores. A medida que aumentó el número de lados de los polígonos (llegó a hacerlo con polígonos de 96 lados) la diferencia en las medidas se acortó, obteniendo un número con una precisión entre 3.1407 y 3.1428. En el siglo II d.C., el astrónomo Ptolomeo utilizó polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más y obtuvo 3.14166. En China, en el siglo III, el matemático Liu Hui utilizó polígonos de hasta 3 mil 72 lados para conseguir el valor de 3.14159; a finales del siglo V, el matemático Zu Chongzhi dio como valor aproximado 3.1415929. En la India existen unos documentos llamados Siddhantas que datan del año 380 d.C., en los que se le da el valor 3+177/1250, que es exactamente 3.1416. Hacia 1400, el matemático Madhava consiguió calcular 11 cifras decimales 3.14159265358. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi utilizó el método de Arquímedes para obtener el valor 3.14159265358979 5 Para el siglo XII, el uso de cifras arábigas facilitó la obtención de mejores cálculos. A partir del método de Arquímedes, los matemáticos Fibonacci, Viète y Adriaan van Roomen lograron una mayor precisión en los dígitos decimales, pero fue Ludolf van Ceulen quien consiguió una aproximación de 35 cifras decimales 6

William Oughtred fue el primero en emplear la letra griega π como símbolo de este cociente, aunque fue William Jones quien lo popularizó en 1706 y finalmente Leonhard Euler, al adoptarlo en 1737, lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta la fecha.

Sin embargo, hubo otros trabajos de cálculo con los que se obtuvieron más números decimales, algunos con errores, pero la cacería de decimales tomaría proporciones inimaginables. Después de trabajar en π durante casi 20 años, el matemático aficionado William Shanks obtuvo en 1873 una serie de 707 decimales.

En 1944, D.F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de dicha serie, a partir del cual los dígitos posteriores eran erróneos. Tres años después, Ferguson lo recalculó y obtuvo 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica. En 1949 comenzaron a utilizarse los ordenadores electrónicos, con lo que dio inicio la Edad Moderna, empezaron a desarrollarse programas para el cálculo de π con la mayor cantidad de cifras posibles, obteniéndose en ese mismo año un valor de 2 mil 37 cifras decimales en tan solo 70 horas.

De manera paulatina fueron batiéndose más récords y, en 2009, se hallaron más de dos billones y medio de decimales de π mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, en 73 horas y 36 minutos. π es un número trascendente e irracional con millones de decimales. Calcularlos ha sido (y lo sigue siendo) una ardua empresa, tan bella como inútil, aunque esencial en la actividad del hombre 7,

Más allá de los decimales, este sencillo símbolo tiene aplicaciones en matemáticas, en física y hasta en ingeniería, aquí se presentan sólo algunas de ellas: En geometría, para obtener volúmenes, circunferencias y áreas. En probabilidad, con la aguja de Buffon.

  1. En análisis matemático, la fórmula de Leibniz, Euler, Gauss.
  2. En física, para la constante cosmológica, principio de incertidumbre de Heisenberg, ley de Coulomb y tercera ley de Kepler.
  3. En poesía, como el escrito por Manuel Golmayo 8, con un método para recordar las primeras 20 cifras de π, asignando a cada palabra el número de letras correspondiente a la cifra: Soy y seré a todos definible; Mi nombre tengo que daros: Cociente diametral siempre inmedible Soy, de los redondos aros.

El número al que representa este poema es: 3.1415926535897932384 π es el número irracional y constante matemática más famosa de la historia, objeto de concienzudos estudios en la antigua Grecia y Medio Oriente, principalmente. Se volvió muy minucioso el número de sus decimales con la invención de las computadoras, las que probaban su eficiencia verificando cuántos decimales se obtenían como resultado y en cuánto tiempo se lograba hacerlo.

  • Sin embargo, lo importante del concepto y valor de π es su aplicación en las matemáticas; estar relacionado con la circunferencia le hace estar presente en la geometría, principalmente, aunque se extiende a la física y la ingeniería.
  • El texto se publicó en la Revista AyP Vol.1 Num.4 Referencias 1.
  • Web: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_ Pi.htm, visitada el 5 de mayo de 2013; y http://centros5.

pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/numpi.htm, visitada el 19 de abril de 2013 2. Web: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_ Pi.htm, visitada el 19 de abril de 2013 3. Beckmann, P. (2006) Historia de π, México, Conaculta, p.19.4. Idem, pp.21-24.5.

Vallejo, F. (2010) El número π(pi): sus aplicaciones y didáctica en la ESO, en didact@21 Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula, No.21.6. Web: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_% CF%80, visitada el 20 de abril de 2013 7. Web: http://www.sociedadelainformacion.com/fisica/pi/ pi.htm, visitada el 25 de abril de 2013 8.

Web: http://www.juegosdepalabras.com/mnemos/mnemos1. htm, visitada el 4 de mayo de 2013 9143

¿Cómo saber si un número es perfecto?

Aunque los números naturales son una “pequeña” parte de la gran cantidad de números que conocemos, entre ellos se esconden grandes curiosidades y muchos enigmas que continúan, a día de hoy, sin respuesta. Tenemos números naturales primos y compuestos, números pequeños y números realmente grandes, números que “se tragan” a otros números, números capicúas y números que todavía se niegan a convertirse en ello Pero entre todos los números naturales hay un tipo de números que, por sus características, reciben el nombre de perfectos, De ellos vamos a hablar hoy. Pero antes vamos a hacer unos cálculos, que para eso estamos en un blog de matemáticas. Tomemos, por ejemplo, el número 15 y calculemos todos sus divisores (números naturales que cumplen que la división de 15 entre esos números es exacta). Son, como todos sabréis, los siguientes: 1, 3, 5 y 15. Excluyamos al propio 15 y sumemos los demás: 1 + 3 + 5 = 9 El resultado de la suma nos da 9. Tomemos ahora el número 28 y calculemos sus divisores. Son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Excluimos, como antes, al propio 28 y sumamos el resto de divisores: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ¡¡La suma da como resultado el propio número 28!! Bien, ya estamos preparados para conocer a estos números: Un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número). Por tanto, el 15 no es un número perfecto, pero el 28 sí lo es. ¿Por qué el apelativo de “perfectos”? Pues parece ser que se llaman así por cuestiones más bien místicas: Dios creó el universo en 6 días, y el 6 es un número perfecto; la Luna tarda 28 días en dar una vuelta a la Tierra porque el 28 es perfecto El más pequeño de los números perfectos es el que acabamos de citar, el 6: Divisores propios de 6: 1, 2, 3, y se tiene que 1 + 2 + 3 = 6 El siguiente es el 28, y a ellos le siguen el 496 y el 8128. Aquí tenéis los ocho primeros números perfectos conocidos: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 Os dejo a vosotros como ejercicio comprobar que son números perfectos el 496 y los otros cinco mayores que él (si tenéis mucho tiempo libre). El estudio de estos números perfectos está ligado al estudio de los mismos números naturales, por lo que se podría decir que han estado en la mente de los matemáticos desde que el hombre se interesó por el estudio más profundo de los números y sus propiedades. Pero, según sabemos, fue Euclides quien mostró por primera vez estudios y resultados con interés acerca de estos curiosos números. Y es el propio Euclides el que demuestra un interesante resultado sobre números perfectos. Ahí va: Si para algún número natural k > 0 se cumple que 2 k – 1 es primo, entonces el número 2 k – 1 · (2 k – 1) es un número perfecto. Por ejemplo, para k = 2 tenemos que 2 2 – 1 = 3 es primo. Entonces, el número que resulta de la operación 2 2 – 1 · (2 2 – 1) = 2 · 3 = 6 es, como ya hemos visto, perfecto. Y para k = 3 tenemos que 2 3 – 1 = 7 es primo, obteniendo así el número 2 3 – 1 · (2 3 – 1) = 4 · 7=28, que ya hemos visto que también es un número perfecto. El resto de números perfectos de la lista de los ocho primeros que aparecen unos párrafos más arriba se obtiene con k = 5, 7, 13, 17, 19 y 31. Por cierto, ¿a alguien le suenan los números de la forma 2 k – 1? Seguro que sí: son los llamados números de Mersenne, de los cuales ya hablamos en este artículo, Estos números sólo pueden ser primos si el propio k es primo, aunque hay muchos valores primos de k para los que el número de Mersenne asociado no es primo. El más pequeño de ellos es el que se obtiene para k = 11: 2 11 – 1 = 2047 = 23 · 89 Por tanto, podemos decir que cada primo de Mersenne genera un número perfecto. Como, a día de hoy, se conocen 49 primos de Mersenne, tenemos una lista de 49 números perfectos generados por ellos. Como dato, es interesante comentar que el recíproco de ese teorema: Si un número perfecto es par, entonces tiene la estructura anterior (es decir, proviene de un primo de Mersenne) también es cierto, y fue demostrado por Leonhard Euler, Ahora, en principio nada obliga a que todos los números perfectos que existan sean obligatoriamente generados por un primo de Mersenne mediante la expresión descrita antes, podría haber números perfectos que no tuvieran esa estructura. Pero, ¿sabéis cuántos números perfectos conocemos actualmente? Pues sí, habéis acertado: exactamente 49, los 49 que salen de los 49 primos de Mersenne conocidos, Esto significa que no conocemos ningún número perfecto que no cumpla esa estructura. ¿Cuántos números perfectos existen? Pues no lo sabemos, de hecho ni siquiera sabemos si hay infinitos números perfectos o si, por el contrario, hay una cantidad finita de ellos. Por otra parte, todos los conocidos son pares. ¿Serán pares todos los números perfectos? Pues tampoco lo sabemos, no se conoce ningún número perfecto impar ni se sabe si existen o no. Preguntas interesantes que, ya bien adentrados en el siglo XXI, continúan sin respuesta. Para que veáis que algo tan sencillo como este pequeño divertimento con números naturales puede generar enigmas extremadamente complicados de desentrañar. Y, para finalizar, volvamos al tema de los divisores. Tomemos el número 220 y calculemos sus divisores. Son los siguientes: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220. Excluimos el 220 y sumamos los demás: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 La suma no nos da 220, por lo que este número no es un número perfecto. Hagamos ahora lo mismo con el resultado obtenido, el 284. Sus divisores son los siguientes: 1, 2, 4, 71, 142 y 284. Sumamos todos excepto el 284 y obtenemos lo siguiente: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 ¡¡El número con el que comenzamos!! Estas parejas de números que cumplen que los divisores propios de uno de ellos suman el otro número se llaman números amigos, Se conocen muchas parejas de números amigos, algunas de ellas con números bastante grandes, y también han sido muchos los matemáticos que les han dedicado tiempo de estudio a lo largo de la historia. Son otro tipo de números bastante interesante sobre el que hablar e indagar, pero dejaré que seáis vosotros quienes, si estáis interesados, busquéis información sobre ellos.

¿Cuál es el siguiente número pentagonal * 2 puntos?

A pentagonal number is a figurate number that extends the concept of triangular and square numbers to the pentagon, but, unlike the first two, the patterns involved in the construction of pentagonal numbers are not rotationally symmetrical, The n th pentagonal number p n is the number of distinct dots in a pattern of dots consisting of the outlines of regular pentagons with sides up to n dots, when the pentagons are overlaid so that they share one vertex, A visual representation of the first six pentagonal numbers p n is given by the formula: for n ≥ 1. The first few pentagonal numbers are: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187. Pentagonal numbers are closely related to triangular numbers. The n th pentagonal number is one third of the (3 n − 1) th triangular number, In addition, where T n is the n th triangular number. Generalized pentagonal numbers are obtained from the formula given above, but with n taking values in the sequence 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4., producing the sequence: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335.

¿Cuál es la fórmula del término n para el número poligonal en la figura n para el número pentagonal?

Obtenemos que la fórmula para el enésimo número pentagonal es n ( 3 n − 1 ) 2, y esto ilustra cómo encontrar la fórmula para números pentagonales usando la fórmula general para números poligonales.

¿Cómo se generaron los números?

Los sistemas numéricos de Occidente – Los primeros números datan del 7.000 a.C., durante la época egipcia. En tiempos de la primera dinastía, los egipcios contaban con la escritura jeroglífica, cuyos símbolos intentaban representar un número o una idea.

Más tarde, desarrollaron un sistema de conteo de base decimal cuyo método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez y cada grupo era asignado bajo un símbolo distinto. La civilización egipcia usaba las matemáticas para la administración estatal – para calcular los impuestos-, en la construcción de sus templos e incluso en el comercio o la geometría -por ejemplo, cuando calculaban el área de sus cultivos-.

Hacia el 4.000 a.C. el sudeste mesopotámico fue ocupado por los sumerios, uno de los primeros pueblos civilizados que posteriormente sería dominado por otras civilizaciones como la babilónica, considerada una de las primeras en contribuir al desarrollo de las matemáticas.

  1. Su numeración era sexagesimal – con base 60 -, un tipo de sistema muy complejo por su gran cantidad de numerales.
  2. Actualmente, este sistema se utiliza para medir el tiempo (horas, minutos y segundos).
  3. Más tarde los griegos sirvieron como nexo transmisor de cultura hacia los pueblos occidentales.
  4. Cogieron de ejemplo la numeración con base diez de los egipcios y desarrollaron su sistema numérico por el 600 a.C.

denominado ‘ático’, el cual utilizaba de forma literal letras del alfabeto como símbolos para representar números. A pesar de todo, este sistema fue poco flexible y les impidió avanzar en el ámbito matemático. Entonces cobra importancia uno de los sistemas más conocidos hoy en día y del que más restos queda actualmente: el sistema romano, mucho más sencillo, ya que a cada signo o letra se le atribuía una cifra.

¿Cómo explicar a los niños para qué sirven los números?

Aprendizaje esperado: i dentifica algunos usos de los números en la vida cotidiana y entiende qué significan. Énfasis: i dentifica el uso de números en la vida cotidiana. ¿Qué vamos a aprender? Identificarás algunos usos de los números en la vida cotidiana y entenderás qué significan.

Pide a tu mamá, papá o algún adulto que te acompañe en casa que te apoyen a desarrollar las actividades y a escribir las ideas que te surjan durante esta sesión. ¿Qué hacemos? ¿Has observado que los libros tienen números? ¿Para qué sirve el número de página? Estos números te sirven para identificar la página que estás leyendo, por eso es que los números no sólo nos sirven para contar, se utilizan los números para diferentes propósitos.

¿Para qué usas los números? Escucha qué dice tu compañero Derek algunas niñas y niños.

Derek, https://365sep-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/evelyn_sanchez_nube_sep_gob_mx/EUx0IUR1XlRJvzG-9h-1AcABlv7bSQl52U3HMmWeUaJNkA?e=rYGFr9 Penélope Audio, https://365sep-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/evelyn_sanchez_nube_sep_gob_mx/ETOIjsiKBYBDuSw8fZksYAYBfCytoE0mm225MAfBO082ZA?e=o0fnVC Anna Victoria, https://365sep-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/evelyn_sanchez_nube_sep_gob_mx/EV28QvpPB91KpA60bYNJA_EBbdSm33iWbcARphN-dSpJNw?e=MMAX8y También puedes observar los números en las etiquetas con el precio de los productos que tu mamá compra, o para ver la hora en el reloj, cuando llamas por teléfono y para ver la fecha en el calendario. ¿Sabes? Los números también nos sirven para jugar. Puedes jugar al avión, memorama de números, matatena, con los dados, pirinola, lotería de números, dominó, serpientes y escaleras y muchos juegos más. Escoge un juego de estos y pídele al adulto que te acompaña que jueguen juntos, por ejemplo. ¿Sabes jugar memorama? Este juego consiste en voltear todas las tarjetas, por turnos vas a elegir 2 si ambas tarjetas son iguales, te las quedas y puedes tirar otra vez, si no son iguales, debes regresarlas y será el turno del siguiente jugador, así hasta terminar con todas las tarjetas. Para saber quién ganó necesitamos contar las tarjetas; y la que tenga mayor cantidad, es la ganadora. Recuerda que, para poder contar los números, siempre se dicen en el mismo orden, empezando por el 1 también, puedes cantar usando los números en orden, para esto, existe una canción que te puede ayudar a practicarlos. Canción, Soy uno cuando estoy solo, https://365sep-my.sharepoint.com/:u:/g/personal/evelyn_sanchez_nube_sep_gob_mx/EZLpwGwfsR9Eh9NKd7_BO0wB7xW-ZZuKQDjq6WgtqDURDA?e=NGBP5S ¿Para qué más te sirven los números? Los números los puedes encontrar en muchas partes. Observa la siguiente lamina. ¿Qué observas en la imagen? Es un campo de béisbol, hay niños jugando, sus papás los están animando; observo un señor vendiendo algodones de azúcar, la taquilla está en la entrada al campo. ¿Qué números identificas en la lámina? Observa los números 2, 4, 6, 8, 5 y 3 Si crees que es un número y no sabes qué número es, pregúntale al adulto que te acompaña.

¿Por qué está el número 6 en la taquilla? Es probable que el boleto para entrar al campo cuesta 6 pesos. ¿Por qué crees que las camisetas de los jugadores tienen números? Cada número representa a un jugador del equipo. Observa el tablero del marcador, ¿Cuántos puntos tienen los pericos? Los pericos tienen 2 puntos.

¿Cuántos puntos tienen los Bravos? Los bravos tienen 4 puntos. ¿Entonces quién va ganando? Puedes pedir al adulto que te acompaña, que te ayude a identificar más números en las cosas que usan en casa. Con tu maestra o maestro puedes realizar diversas actividades para aprender los números. Hola, mi nombre es Emily Elizabeth. Éste es Clifford, mi perro. En el mundo entero sólo hay un Clfford. El día del cumpleaños de Clifford, le hice una fiesta. Íbamos a tener muchos globos, inflé dos globos, pero me cansé. Clifford trató de inflar el resto, pero sopló un poco fuerte, y al final nos quedamos con sólo dos globos. Le compré tres regalos a Clifford. Los envolví, iba a adornarlos con cintas y lazos. Pero Clifford encontró las cintas primero. ¡Qué lío! Cuenta tres ventanas. Cuenta cuatro gorritos de fiesta. Invité a los perros amigos de Clifford. Vinieron cuatro, no invité a ningún gato. Cuenta cuatro perros amigos de Clifford. Cuenta cuatro casas. Jugamos a las sillas musicales, coloqué cinco sillas. Cuenta cinco sillas. Cuenta dos sillas amarillas. Dimos vueltas y vueltas, cuando la música paró. Clifford fue el primero en sentarse, se acabó el juego de las sillas. Jugamos al escondite. Clifford se escondió detrás de seis árboles. Pero, aun así, lo encontramos. Llegó la hora de partir el pastel. Coloqué siete velitas. Cuenta siete velitas. Cuenta siete tenedores. Clifford sopló las velas. Terminamos comiendo helado. Clifford abrió sus regalos. Todos tuvieron la misma idea. Clifford recibió ocho sacos de comida para perros. Cuenta cuatro sacos rojos. Cuenta cuatro sacos amarillos. Cuenta ocho sacos en total. Había un payaso en la fiesta. Hizo juegos malabares con nueve bolas. Cuenta cuatro bolas rojas. Cuenta cinco bolas amarillas. Cuenta nueve bolas en total. Clifford quiso hacer lo mismo. ¡Huy! Luego llegaron los gatos, querían jugar también. Los invitamos a formar parte del grupo y así los hicieron. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y diez. Cuenta tres gatos grises. Cuenta tres gatos blancos. Cuenta cuatro gatos con rayas. Cuanta diez gatos en total. ¡Diez gatos en total! Nos estábamos divirtiendo mucho, cuando, de repente, sentí una gota de agua. Cuenta los niños. Cuenta los perros. No te olvides de contar a Clifford. ¡Vaya suerte! Con la lluvia se estropearía la fiesta. Pero Clifford salvó la situación y la fiesta continuó, siempre supe que podía contar con Clifford. Cuenta los niños. Cuenta las niñas. Cuenta los gatos. Cuenta los perros. Cuenta los gorritos de fiesta. ¡FELIZ CUMPLEAÑOS, CLIFFORD! ¡Oh, los números estuvieron presentes en toda la fiesta de Clifford! La fiesta era para el festejo de Clifford, inflaron 2 globos, la dueña de Clifford le compró 3 regalos e invitó a 4 de sus amigos. En la fiesta jugaron con 5 sillas musicales y se escondieron detrás de 6 árboles. Clifford cumplió 7 años y recibió 8 sacos de comida para perro como regalo de cumpleaños. Después llegó un payaso a la fiesta, que realizó malabares con 9 pelotas y por último llegaron 10 gatos a la fiesta. Contaste hasta el 10 en la fiesta de Clifford. A continuación, escucha la siguiente canción, y cuenta con ella. Cápsula Números,

https://365sep-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/evelyn_sanchez_nube_sep_gob_mx/EWQ50JzY9eBDkwFytYNofSkBYiV-yTOC7hjLwM_zrF60Q?e=2ciVXS El r eto de h oy: Los números están en muchas partes y te ayudan a saber el valor del dinero, cuánto mide un objeto, persona o distancia, cuánto pesa algo, marcar un número telefónico, identificar un domicilio, ordenar cosas y mucho más.

¿Qué números son amigos?

Dos números a y b son amigos si y sólo si la suma de los divisores de a es igual a b, y la suma de los divisores de b es igual a a.

¿Por que enseñar números racionales?

También son importantes en los procesos escolares dado que los números racionales constituyen una base fundamental, no sólo para el estudio de la matemática, sino también para la formación en otras disciplinas como la física, la química, la biología, etcétera.

¿Qué es un polígono y un ejemplo?

Elementos de un polígono – Todos los polígonos se caracterizan por tener:

Lados, Son las líneas que forman la figura. Un polígono debe tener como mínimo tres lados y no existe un máximo de cantidad de lados. Un polígono puede ser, por ejemplo, un triángulo (polígono de tres lados), un pentágono (polígono de cinco lados), un octágono (polígono de ocho lados), entre muchos otros. Vértices, Son las uniones o intersecciones que se producen al unir dos lados o líneas del polígono. La cantidad de vértices de un polígono es igual a la cantidad de lados de la figura. Ángulos, Son los ángulos que se forman entre dos líneas o lados del polígono y que tienen una cierta inclinación o graduación. Ángulos exteriores, Son los ángulos que se forman entre uno de los lados y una línea por fuera del polígono. Diagonales, Son líneas que se pueden unir dentro del polígono entre un vértice y otro no consecutivo. La cantidad de diagonales que se pueden trazar en un polígono dependerá de la cantidad de lados. Cuantos más lados tenga un polígono, más cantidad de diagonales se podrán trazar. El triángulo es el único polígono que no tiene diagonales.

Además, los polígonos regulares tienen:

Centro, Es el punto que equidista entre todos los lados y vértices de un polígono regular. Apotema, Es la distancia entre el centro del polígono y cualquiera de los lados. Ángulo central, Es el ángulo que tiene su vértice en el centro del polígono y sus lados se forman al unir ese centro con dos vértices consecutivos del polígono.

¿Cuál es el nombre de 12 polígonos?

Definición de dodecágono En geometría, un polígono de 12 lados se llama dodecágono.

¿Cuántos polígonos hay?

Generalmente, hay dos tipos de polígonos : regulares e irregulares. Los polígonos con lados de igual longitud se conocen como regulares.

¿Cómo se llaman los 10 polígonos?

Por lo tanto, un polígono de 10 lados se conoce como decágono.